Аддитивная составляющая. Погрешности преобразователей
Погрешность преобразователей является следствием несовершенства их конструкции и технологии изготовления. Поэтому она определяется совокупностью частных составляющих погрешности или, как принято говорить, совокупностью частных погрешностей. Наличие погрешности у преобразователя (а она всегда есть) проявляется в том, что реальная характеристика преобразователя отличается от номинальной, является неоднозначной и из линии превращается в полосу неопределенности.
Частные погрешности можно классифицировать по различным признакам:
1) по характеру влияния на уравнение преобразователя;
2) по характеру проявления: систематические и случайные;
3) по причине возникновения;
4) по зависимости от скорости изменения измеряемой величины: статические и динамические.
По характеру влияния на уравнение преобразователя погрешности подразделяются на аддитивные и мультипликативные .
Аддитивная погрешность (от лат. additio - прибавление) проявляется в смещении нулевого или условно нулевого положения. Это смещение не зависит от значения измеряемой величины и объясняется наличием внешних помех, шумов, трения, порога чувствительности. К числу аддитивных можно отнести и погрешность дискретности (квантования), хотя это и не погрешность нуля. С учетом аддитивной погрешности уравнение (2.161) преобразователя принимает вид
Y= S н Х +∆ у .а. . (2.165)
где ∆ у .а - аддитивная погрешность, приведенная к выходу.
Аддитивная погрешность может иметь как систематический, так и случайный характер. На рис. 2.22,а показаны номинальная и реальная характеристики преобразователя для случая систематической аддитивной погрешности, а на рис. 2.22,б - полоса неопределенности, в которую превращается номинальная характеристика преобразователя, если аддитивная погрешность носит случайный характер.
Рис. 2.22. Характеристики преобразователем при наличии аддитивной
погрешности систематического (а ) и случайного (б) характеров.
Систематическая составляющая аддитивной погрешности должна быть скорректирована перед началом измерения, а случайная может быть учтена по законам случайных ошибок. Перечисленные выше аддитивные погрешности являются случайными с отличным от нуля математическим ожиданием.
Мультипликативная погрешность - это погрешность чувствительности (от англ. multiplier - множитель, коэффициент), т. е. это погрешность, вызванная непостоянством чувствительности в диапазоне измерения вследствие несовершенства технологии изготовления преобразователя, а также вследствие воздействия внешних факторов.
Если непостоянство чувствительности по шкале обозначить через ∆S , то относительное изменение ее (по отношению к номинальному значению чувствительности S Н, ее математическому ожиданию) и является относительной мультипликативной погрешностью. Действительно,
где т у = Y 0 - математическое ожидание Y , его действительное значение; ∆ у ,м - абсолютная погрешность преобразования.
т. е. равна относительному изменению чувствительности. Из (2.166) следует, что абсолютная мультипликативная погрешность пропорциональна измеряемой величине:
Здесь и ранее - это погрешности преобразователя, приведенные к выходу. Погрешности, приведенные к входу, в S Н раз меньше.
Рис. 2.23. Мультипликативные систематические погрешности (а )
и характеристики преобразователей (б ).
Мультипликативная погрешность также может иметь систематическую и случайную составляющие. На рис. 2.23, а изображены кривые абсолютной и относительной систематической мультипликативной погрешностей для γ m 1 =const, а на рис. 2.23,б номинальная и реальная характеристики преобразователя для γ m 1 . Если непостоянство чувствительности по шкале носит случайный характер, как это показано на рис. 2.24, а, и характеризуется среднеквадратичным отклонением ±σ м, то
∆ у ,м =±z σ м Y 0 . (2.169)
Рис. 2.24. Чувствительность (а ) и характеристика преобразователя (б) при случайной мультипликативной погрешности.
На рис. 2.24,б изображена номинальная характеристика преобразователя и зона неопределенности, определяющая положение (случайное) реальной характеристики.
Полная абсолютная погрешность преобразователя, приведенная к выходу,
∆ у =∆ у, a +γ м Y 0 . (2.170)
а приведенная к входу
∆ x =∆ x , a +γ м X. (2.171)
Относительная погрешность преобразователя
В дальнейшем индексы у и х у погрешностей будем опускать.
Из (2.172) видно, что при малых значениях измеряемой величины относительная аддитивная составляющая погрешности может принимать очень большие значения. На рис. 2.25 изображены номинальная характеристика и полоса неопределенности, определяющая реальную характеристику, при наличии у преобразователя обеих составляющих погрешности.
Рис. 2.25. Номинальная характеристика и полоса неопределенности реальной характеристики преобразователя при наличии аддитивной и
мультипликативной погрешностей.
Погрешность, вызванная нелинейностью, возникает в том случае, когда за характеристику преобразователя, имеющего принципиально нелинейную характеристику, принимается линейная. В зависимости от способа линеаризации эта погрешность может иметь только мультипликативную или только аддитивную составляющие. Действительно, при линеаризации по касательной (рис. 2. 26, а ) и по хорде (рис. 2.26,б ) ошибка должна расцениваться как мультипликативная, имеющая систематический характер. При линеаризации, например, по методу Чебышева погрешность является аддитивной (рис. 2.26, в).
Рис. 2.26. Влияние способа аппроксимации нелинейной характеристики на характер и величину погрешности.
(Пояснения в тексте).
В этом случае она характеризуется зоной, определяемой положениями касательной и хорды, поэтому удобнее и правильнее считать частную погрешность от нелинейности при таком способе линеаризации случайной величиной.
Для многих преобразователей характерно явление гистерезиса, вызывающее вариацию значений выходного параметра. Это - упругий гистерезис мембран, магнитный гистерезис ферромагнитных материалов и т. д. Замена реальной гистерезисной характеристики идеальной приводит к случайной мультипликативной ошибке.
Разделение погрешностей на мультипликативные и аддитивные очень существенно при решении вопроса о нормировании погрешностей измерительных устройств, о выборе метода оптимальной обработки получаемой информации о значении измеряемой величины.
Источником мультипликативных погрешностей является изменение параметров прибора, вызывающее нестабильность общего коэффициента чувствительности Н = АК/К 0 . Чаще всего это возникает из-за изменения параметров источников питания, изменения температуры окружающей среды, неверной установки прибора и пр. Как уже отмечалось, для устранения систематической мультипликативной погрешности проводится калибровка прибора.
Для уменьшения случайной мультипликативной погрешности используется рациональный выбор параметров и структуры ИУ. Обычно известно необходимое, заданное или желаемое значение общего коэффициента чувствительности ИУ К = К ж. Например, если в качестве ИУ рассматривается ИП, то К ж = 1. Поэтому определение оптимальных значений коэффициентов чувствительности звеньев И У сводится к совместному выполнению двух условий
где функции К = K(k { ,k 2 ,...,k N) и D H = D H (k { ,k 2 >... f k N) зависят от вида структурной схемы ИУ.
В табл. 9.4 показаны результаты решения этой задачи для типовых соединений звеньев И У. Из этой таблицы видно, что при последовательном соединении звеньев ИУ дисперсия D H равна сумме дисперсий погрешностей звеньев D s . В этом случае она не зависит от значений коэффициентов чувствительности звеньев ИУ. Поэтому повышение точности измерений в таких ИУ может достигаться только за счет повышения точности их звеньев (снижения дисперсий D s), или уменьшения числа звеньев N. Исходя из принципа равноточности, рекомендуется при построении таких ИУ выбирать звенья с одинаковыми (или близкими) значениями величин
D s = D Xf /ЛГ, где D M - допустимое значение дисперсии мультипликативной погрешности.
Таблица 9.4
Оптимальные значения коэффициентов чувствительности
звеньев ИУ
Примечание. Принцип равноточности в измерительных системах в известной степени аналогичен принципу равнопрочное™ в механических системах и принципу рав- нонадежности в технических системах.
Условие К = К ж может достигаться выбором необходимого значения коэффициента чувствительности любого звена ИУ. Обычно роль такого звена в приборах выполняет усилитель с регулируемым коэффициентом усиления.
При параллельном и встречно-параллельном соединениях существуют оптимальные значения коэффициентов чувствительности звеньев (и, следовательно, оптимальные параметры ИУ), при которых достигается минимальное значение величины О п и выполняется требование К = К Ж. Их значения зависят от желаемого значения общего коэффициента чувствительности К ж и дисперсий погрешностей звеньев ИУ D s . При таких соединениях звеньев (параллельном и встречно-параллельном) минимальное значение D u равно среднему геометрическому дисперсий погрешностей звеньев. В частности, если И У имеет два звена, то
Отсюда следует: если D x 2 , то D Hm}