Производная и первообразная егэ. Первообразная функции
Здравствуйте, друзья! В данной статье рассмотрим с вами задания на первообразную. Эти задания входят в ЕГЭ по математике. Несмотря на то, что сами разделы — дифференцирование и интегрирование довольно ёмки в курсе алгебры и требуют ответственного подхода к пониманию, но сами задачи, которые входят в открытый банк заданий по математике и будут на ЕГЭ чрезвычайно просты и решаются в одно-два действия.
Важно понять именно суть первообразной и в частности геометрический смысл интеграла. Рассмотрим кратко теоретические основы.
Геометрический смысл интеграла
Кратко об интеграле можно сказать так: интеграл – это площадь.
Определение: Пусть на координатной плоскости дан график положительной функции f, заданной на отрезке . Подграфиком (или криволинейной трапецией) называется фигура, ограниченная графиком функции f, прямыми х = а и х= b и осью абсцисс.
Определение: Пусть дана положительная функция f, определённая на конечном отрезке . Интегралом от функции f на отрезке называется площадь её подграфика.
Как уже сказано F′(x) = f (x). Какой можем сделать вывод?
Он простой. Нам нужно определить сколько имеется точек на данном графике, в которых F′(x) = 0. Мы знаем, что в тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси ох. Покажем эти точки на интервале [–2;4]:
Это точки экстремума данной функции F (x). Их десять.
Ответ: 10
323078. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) – F (2), где F (x) - одна из первообразных функции f (x).
Ещё раз запишем теорему Ньютона–Лейбница: Пусть f данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда
А это, как уже сказано, есть площадь подграфика функции.
Таким образом, задача сводится к нахождению площади трапеции (интервал от 2 до 8):
Её не сложно вычислить по клеткам. Получаем 7. Знак положительный, так как фигура расположена выше оси ох (или в положительной полуплоскости оси оу).
Ещё в данном случае можно было сказать так: разность значений первообразных в точках есть площадь фигуры.
Ответ: 7
323079. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x). Функция F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 - одна из первообразных функции y= f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Как уже сказано о геометрическом смысле интеграла это есть площадь фигуры ограниченной графиком функции f (x), прямыми х = а и х = b и осью ox.
Теорема (Ньютона–Лейбница):
Таким образом, задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –11 до –9, или другими словами нам необходимо найти разность значений первообразных вычисленных в указанных точках:
Ответ: 6
323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x).
Функция F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 - одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Теорема (Ньютона–Лейбница):
Задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –10 до –8:
Ответ: 4 можете посмотреть .
Производные и правила дифференцирования ещё есть в . Знать их нужно обязательно, не только для решения таких заданий.
Также можете посмотреть справочную информацию на сайте и .
Посмотрите небольшой ролик, это отрывок из фильма «Невидимая сторона». Можно сказать, что это фильм об учёбе, о милосердии, о важности якобы «случайных» встреч в нашей жизни... Но этих слов будет недостаточно, рекомендую посмотреть сам фильм, очень рекомендую.
Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x ) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство
F"(x ) = f (x ) .
Например, функция F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так как
F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄
Основное свойство первообразной
Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С — произвольная постоянная.
Например. Функция F(x) = х 2 + 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 + 1 )" = 2 x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 3 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 3)" = 2 x = f(x) ; любая функция F(x) = х 2 + С , где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x ) = 2х . ◄ |
Правила вычисления первообразных
- Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
- Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k ·F(x) — первообразная для k ·f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
- Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k · F(k x + b ) — первообразная для f (k x + b ) .
Неопределённый интеграл
Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С , то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:
∫ f(x) dx = F(x) + С ,
f(x) — называют подынтегральной функцией ;
f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;
x — называют переменной интегрирования ;
F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;
С — произвольная постоянная.
Например, ∫ 2 x dx = х 2 + С , ∫ cos x dx = sin х + С и так далее. ◄
Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer , что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Основные свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:
- Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f (k x + b ) dx = 1 / k · F(k x + b ) + С .
Таблица первообразных и неопределённых интегралов
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + С
|
|
| I.
| $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II.
| $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III.
| $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ | $$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ |
| IV.
| $$\frac{1}{x}$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$ |
| V.
| $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI.
| $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII.
| $$\frac{1}{\cos^2x}$$ | $$\textrm{tg} ~x+C$$ | $$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg} ~x+C$$ |
| VIII.
| $$\frac{1}{\sin^2x}$$ | $$-\textrm{ctg} ~x+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\textrm{ctg} ~x+C$$ |
| IX.
| $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X.
| $$a^x$$ | $$\frac{a^x}{\ln a}+C$$ | $$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ |
| XI.
| $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C$$ |
| XII.
| $$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$ | $$\arcsin \frac{x}{a}+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$ |
| XIII.
| $$\frac{1}{1+x^2}$$ | $$\textrm{arctg} ~x+C$$ | $$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg} ~x+C$$ |
| XIV.
| $$\frac{1}{a^2+x^2}$$ | $$\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$ | $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$ |
| XV.
| $$\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$$ | $$\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$ |
| XVI.
| $$\frac{1}{x^2-a^2}~(a\neq0)$$ | $$\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$ | $$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$ |
| XVII.
| $$\textrm{tg} ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm{tg} ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII.
| $$\textrm{ctg} ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm{ctg} ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX.
| $$ \frac{1}{\sin x} $$ | $$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$ | $$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$ |
| XX.
| $$ \frac{1}{\cos x} $$ | $$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$ | $$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$ |
| Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными
и табличными интегралами
. |
|||
Определённый интеграл
Пусть на промежутке [a ; b ] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|{_a^b} = ~~F(a)-F(b).$$
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Основные правила вычисления определённого интеграла
1. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\);
2. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx\);
3. \(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx,\) где k — постоянная;
4. \(\int_{a}^{b}(f(x) ± g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x) dx±\int_{a}^{b}g(x) dx \);
5. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\);
6. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\), где f(x) — четная функция;
7. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\), где f(x) — нечетная функция.
Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.
Геометрический и физический смысл определённого интеграла
| Геометрический смысл определённого интеграла | Физический смысл
определённого интеграла |
 |  |
Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a ; b ] функции f(x) , осью Ox и прямыми x=a , x=b ) вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx.$$ | Путь s
, который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t)
, за промежуток времени a
;
b
]
, то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a
, x = b
, вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = 2 - x . Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение: x 2 = 2 - x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_{-2}^{1}((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2} \right)\bigm|{_{-2}^{~1}}=4\frac{1}{2}. $$ ◄ |
|
Объём тела вращения
 | Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a ; b ] функции y = f(x) и прямыми x = a и x = b , то его называют телом вращения . Объём тела вращения вычисляется по формуле $$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.$$ Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то $$V=\pi\int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Например. Вычислим объём конуса с радиусом r
и высотой h
. Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox
, а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB
определяет конус. Так как уравнение AB
$$\frac{x}{h}+\frac{y}{r}=1,$$ $$y=r-\frac{rx}{h}$$ |
| и для объёма конуса имеем $$V=\pi\int_{0}^{h}(r-\frac{rx}{h})^2dx=\pi r^2\int_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac{(1-\frac{x}{h})^3}{3}|{_0^h}=-\pi r^2h\left (0-\frac{1}{3} \right)=\frac{\pi r^2h}{3}.$$ ◄ |
|
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все
множество первообразных функции f(x)
называется
неопределенным интегралом этой функции
и обозначается 
.
Выражение называютподынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .
Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной Д(х) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем:
J 2 х^х = х2 + C.
Семейство первообразных (х + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол.
Если из семейства первообразных нужно найти одну, то задают дополнительные условия, позволяющие определить постоянную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при значении аргумента х = х0 функция имеет значение Д(х0) = у0.
Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1.
Искомая первообразная: Д(х) = х2 + 2.
Решение. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:
6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:
7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:
Если 
,
то
8. Свойство:
Если 
,
то
Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе.
Рассмотрим пример:
3. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием . При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала »):
Вообще, f’(u)du
= d(f(u)).
эта
(формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Найти интеграл
Решение. Воспользуемся свойствами интегралаи приведем данный интеграл к нескольким табличным.
4. Интегрирование методом подстановки.
Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.
Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.
Пример.
Найти
неопределенный интеграл 
.
Решение.
Введем
новую переменную .
Выразимх
через z
:
Выполняем
подстановку полученных выражений в
исходный интеграл:
Из
таблицы первообразных имеем 
.
Осталось
вернуться к исходной переменной х
:
Ответ:
\(\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\)\(\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\)
СодержаниеЭлементы содержания
Производная, касательная, первообразная, графики функций и производных.
Производная Пусть функция \(f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\).
Производной функции \(f\) в точке \(x_0\) называется предел
\(f"(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\)
если этот предел существует.
Производная функции в точке характеризует скорость изменения этой функции в данной точке.
| Функция | Производная |
| \(const\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^{n-1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln{a}\) |
| \(\ln{x}\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\log_a{x}\) | \(\dfrac{1}{x\ln{a}}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tg x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac{1}{\sin^2x}\) |
Правила дифференцирования \(f\) и \(g\) - функции, зависящие от переменной \(x\); \(c\) - число.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac{f}{g}\right)"=\dfrac{f"g-g"f}{g^2}\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - производная сложной функции
Геометрический смысл производной Уравнение прямой - не параллельной оси \(Oy\) можно записать в виде \(y=kx+b\). Коэффициент \(k\) в этом уравнении называют угловым коэффициентом прямой . Он равен тангенсу угла наклона этой прямой.
Угол наклона прямой - угол между положительным направлением оси \(Ox\) и данной прямой, отсчитываемый в направлении положительных углов (то есть, в направлении наименьшего поворота от оси \(Ox\) к оси \(Oy\)).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)
Если \(f"(x_0)=0\), то касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) параллельна оси \(Ox\).
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Монотонность функции Если производная функции положительна во всех точках промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.
Если производная функции отрицательна во всех точках промежутка, то функция убывает на этом промежутке.
Точки минимума, максимума и перегиба положительного на отрицательное в этой точке, то \(x_0\) - точка максимума функции \(f\).
Если функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0\), а значение производной этой функции \(f"\) меняется с отрицательного на положительное в этой точке, то \(x_0\) - точка минимума функции \(f\).
Точки, в которых производная \(f"\) равна нулю или не существует называются критическими точками функции \(f\).
Внутренние точки области определения функции \(f(x)\), в которых \(f"(x)=0\) могут быть точками минимума, максимума или перегиба.
Физический смысл производной Если материальная точка движется прямолинейно и её координата изменяется в зависимости от времени по закону \(x=x(t)\), то скорость этой точки равна производной координаты по времени:
Ускорение материальной точки в равно производной скорости этой точки по времени:
\(a(t)=v"(t).\)
51. На рисунке изображён график y=f "(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x ) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней.
Ответ: 5
52. На рисунке изображён график y=F(x) f(x) f(x) положительна?
Ответ: 7
53. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x ) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?
Ответ: 3
54. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 . В скольких из этих точек функция f(x) положительна?
Ответ: 6
55. На рисунке изображён график y=F(x f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2].
Ответ: 3
56. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)= 0 на отрезке [− 5; 5].
Ответ: 4
57. На рисунке изображён график y=F (x ) одной из первообразных некоторой функции f (x ), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x )=0 на отрезке .
Ответ: 4
58. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−8), где F(x) f(x).
Ответ: 20
59. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−9), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).
Ответ: 24
60. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ). Функция
-одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры .
Ответ: 6
61. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция
Одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 14,5
параллельна касательной к графику функции
Ответ:0,5
Найдите абсциссу точки касания.
Ответ: -1
является касательной к графику функции
Найдите c .
Ответ: 20
является касательной к графику функции
Найдите a .
Ответ:0,125
является касательной к графику функции
Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Ответ: -33
67. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?
Ответ: 18
68. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 48 м/с?
Ответ: 9
69. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x t t =6 с.
Ответ: 20
70. Материальная точка движется прямолинейно по закону
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t =3 с.
Ответ: 59